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二次函数知识点总结及相关典型题目(含答案)(word文档物超所值)

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二次函数知识点总结及相关典型题目

第一部分 基础知识

1.定义:一般地,如果 y ? ax 2 ? bx ? c(a, b, c 是常数, a ? 0) ,那么 y 叫做 x 的二次函
数.
2.二次函数 y ? ax 2 的性质

(1)抛物线 y ? ax 2 的顶点是坐标原点,对称轴是 y 轴.

(2)函数 y ? ax 2 的图像与 a 的符号关系. ①当 a ? 0 时 ? 抛物线开口向上 ? 顶点为其最低点; ②当 a ? 0 时 ? 抛物线开口向下 ? 顶点为其最高点.
(3)顶点是坐标原点,对称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为 y ? ax 2(a ? 0).

3.二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的图像是对称轴*行于(包括重合) y 轴的抛物线.
4.二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 用配方法可化成: y ? a?x ? h?2 ? k 的形式,其中

h ? ? b ,k ? 4ac ? b2 .

2a

4a

5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:① y ? ax 2 ;② y ? ax 2 ? k ;③

y ? a?x ? h?2 ;④ y ? a?x ? h?2 ? k ;⑤ y ? ax2 ? bx ? c .

6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.
① a 的符号决定抛物线的开口方向:当 a ? 0 时,开口向上;当 a ? 0 时,开口向下;

a 相等,抛物线的开口大小、形状相同.

②*行于 y 轴(或重合)的直线记作 x ? h .特别地, y 轴记作直线 x ? 0 .

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数 a 相同,那么抛物线的开

口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

(1)公式法: y ? ax 2 ? bx ? c ? a?? x ? b ??2 ? 4ac ? b2 ,∴顶点是

? 2a ?

4a

-1-

(? b ,4ac ? b2 ),对称轴是直线 x ? ? b .

2a 4a

2a

(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为 y ? a?x ? h?2 ? k 的形式,得到

顶点为( h , k ),对称轴是直线 x ? h .
(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连

线的垂直*分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.

9.抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 中, a,b, c 的作用

(1) a 决定开口方向及开口大小,这与 y ? ax 2 中的 a 完全一样.

(2) b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 的对称轴是直线

x ? ? b ,故:① b ? 0 时,对称轴为 y 轴;② b ? 0 (即 a 、 b 同号)时,对称

2a

a

轴在 y 轴左侧;③ b ? 0 (即 a 、 b 异号)时,对称轴在 y 轴右侧. a

(3) c 的大小决定抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 与 y 轴交点的位置.

当 x ? 0 时, y ? c ,∴抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 与 y 轴有且只有一个交点(0, c ):

① c ? 0 ,抛物线经过原点; ② c ? 0 ,与 y 轴交于正半轴;③ c ? 0 ,与 y 轴交于负

半轴.

以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在 y 轴右侧,则 b ? 0. a
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:

函数解析式

开口方向

对称轴

顶点坐标

y ? ax 2

x ? 0 ( y 轴)

(0,0)

y ? ax 2 ? k

x ? 0 ( y 轴)

(0, k )

y ? a?x ? h?2

当a ? 0时

y ? a?x ? h?2 ? k 开口向上
当a ? 0时

开口向下

x?h x?h
-2-

( h ,0) (h,k )

y ? ax 2 ? bx ? c

x?? b 2a

(?

b

4ac ? b2 ,

)

2a 4a

11.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)一般式: y ? ax 2 ? bx ? c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值,通常选择一般式.

(2)顶点式: y ? a?x ? h?2 ? k .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.

(3)交点式:已知图像与 x 轴的交点坐标 x1 、 x2 ,通常选用交点式:
y ? a?x ? x1 ??x ? x2 ?.
12.直线与抛物线的交点
(1) y 轴与抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 得交点为(0, c ).

(2)与 y 轴*行的直线 x ? h 与抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 有且只有一个交点( h ,

ah 2 ? bh ? c ).

(3)抛物线与 x 轴的交点

二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1 、 x2 ,是对应一元

二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一

元二次方程的根的判别式判定:
①有两个交点 ? ? ? 0 ? 抛物线与 x 轴相交; ②有一个交点(顶点在 x 轴上) ? ? ? 0 ? 抛物线与 x 轴相切; ③没有交点 ? ? ? 0 ? 抛物线与 x 轴相离. (4)*行于 x 轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时,两交点的纵坐

标相等,设纵坐标为 k ,则横坐标是 ax 2 ? bx ? c ? k 的两个实数根.

(5)一次函数 y ? kx ? n?k ? 0?的图像 l 与二次函数 y ? ax2 ? bx ? c?a ? 0?的图像

G 的交点,由方程组

y ? kx ? n
的解的数目来确定:①方程组有两组不同
y ? ax 2 ? bx ? c

的解时 ? l 与 G 有两个交点; ②方程组只有一组解时 ? l 与 G 只有一个交点;③ 方程组无解时 ? l 与 G 没有交点.

(6)抛物线与 x 轴两交点之间的距离:若抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 与 x 轴两交点为

-3-

A?x1,0?,B?x2,0?,由于 x1、 x2 是方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两个根,故

x1

?

x2

?

?

b a

, x1

? x2

?

c a

AB ? x1 ? x2 ?

?x1 ? x2 ?2 ?

?x1 ? x2 ?2 ? 4x1x2 ?

?? ? b ??2 ? 4c ? ? a? a

b2 ? 4ac ? ?

a

a

第二部分 典型*题

1.抛物线 y=x2+2x-2 的顶点坐标是 ( D )

A.(2,-2) B.(1,-2)

C.(1,-3)

D.(-1,-3)

2.已知二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的图象如图所示,则下列结论正确的是( C )

A.ab>0,c>0 B.ab>0,c<0 C.ab<0,c>0  D.ab<0,c<0

  第2,3题图

A

E

F

B

DC

第 4 题图

3.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则下列结论正确的是( D )

  A.a>0,b<0,c>0   C.a<0,b>0,c<0

B.a<0,b<0,c>0 D.a<0,b>0,c>0

4.如图,已知 ?ABC 中,BC=8,BC 上的高 h ? 4 ,D 为 BC 上一点, EF / / BC ,交 AB 于

点 E,交 AC 于点 F(EF 不过 A、B),设 E 到 BC 的距离为 x ,则 ?DEF 的面积 y 关于 x 的函数的图象大致为( D )

y

4

4

4

4

O 24x O 24

A

B

O 24 C

EF ? 4 ? x ? EF ? 8 ? 2x,? y ? ?x2 ? 4x 84

O 24 D

5.抛物线 y ? x2 ? 2x ? 3 与 x 轴分别交于 A、B 两点,则 AB 的长为 4 .

6.已知二次函数 y=kx2+(2k-1)x-1与 x 轴交点的横坐标为 x1 、 x2 ( x1<x2 ),则对于

-4-

下列结论:①当 x=-2 时,y=1;②当 x>x2 时,y>0;③方程

kx2+(2k-1)x ?1=0 有两个不相等的实数根 x1 、 x2 ;④ x1< ? 1, x2>-1 ;⑤

x2-x=1

1+4k 2
,其中所有正确的结论是 ①③④ (只需填写序号).
k

7.已知直线 y ? ?2x ? b?b ? 0?与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B;一抛物线的解析式为

y ? x 2 ? ?b ? 10?x ? c .

(1)若该抛物线过点 B,且它的顶点 P 在直线 y ? ?2x ? b 上,试确定这条抛物线的解析

式; (2)过点 B 作直线 BC⊥AB 交 x 轴交于点 C,若抛物线的对称轴恰好过 C 点,试确定直线
y ? ?2x ? b 的解析式.

解:(1) y ? x 2 ? 10 或 y ? x 2 ? 4x ? 6

将(0,

b)

代入,得

c

?

b

b .顶点坐标为 (

? 10

,

?

b2

? 16b

? 100 ) ,由题意得

2

4

?2 ?

b

? 10 2

?b

?

?

b2

? 16b 4

? 100

,解得 b1

?

?10, b2

?

?6

.

(2) y ? ?2x ? 2

8.有一个运算装置,当输入值为 x 时,其输出值为 y ,且 y 是 x 的二次函数,已知输入值 为 ? 2 ,0,1时, 相应的输出值分别为 5, ? 3 , ? 4 .

(1)求此二次函数的解析式;

(2)在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值 y 为正数

时输入值 x 的取值范围.

解:(1)设所求二次函数的解析式为 y ? ax 2 ? bx ? c ,



?a(?2) ???a ? 02

2
?

? b

b(?2) ?0?c

? ?

c? ?3

5

,即

?c ? ??2a

?3 ?b

?

4

?a ? 1 ,解得 ??b ? ?2

???a ? b ? c ? ?4

??a ? b ? ?1

??c ? ?3

故所求的解析式为: y ? x 2 ? 2x ? 3 .

(2)函数图象如图所示.

y Ox

由图象可得,当输出值 y 为正数时,

-5-

输入值 x 的取值范围是 x ? ?1 或 x ? 3 . 9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现:骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化,
而且在这四天中每昼夜的体温变化情况 相同.他们将一头骆驼前两昼夜的体温 变化情况绘制成下图.请根据图象回答:

⑴第一天中,在什么时间范围内这头骆 驼的体温是上升的?它的体温从最低上 升到最高需要多少时间?
⑵第三天 12 时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现,图中 10 时到
22 时的曲线是抛物线,求该抛物线的解 析式. 解:⑴第一天中,从 4 时到 16 时这头骆驼的
体温是上升的 它的体温从最低上升到最高需要 12 小时 ⑵第三天 12 时这头骆驼的体温是 39℃
⑶ y ? ? 1 x2 ? 2x ? 24?10 ? x ? 22?
16 10.已知抛物线 y ? ax2 ? ( 4 ? 3a)x ? 4 与 x 轴交于 A、
3
B 两点,与 y 轴交于点 C.是否存在实数 a,使得 △ABC 为直角三角形.若存在,请求出 a 的值;若不 存在,请说明理由. 解:依题意,得点 C 的坐标为(0,4).

第9题

   设点 A、B 的坐标分别为( x1 ,0),( x2 ,0),

 

 由 ax2

?

(

4 3

?

3a)

x

?

4

?

0

,解得 

x1

? ?3 , x2

?? 4 3a



   ∴ 点 A、B 的坐标分别为(-3,0),( ? 4 ,0). 3a

   ∴  AB ?| ? 4 ? 3 | , AC ? AO2 ? OC 2 ? 5 , 3a

BC ? BO2 ? OC 2 ? | ? 4 |2 ?42 . 3a

-6-

 

 ∴  AB2

?| ? 4 3a

? 3 |2 ?

16 9a2

? 2?3? 4 3a

?9?

16 9a2

?

8 a

?9,

    

AC 2

?

25 ,

BC 2

?

16 9a2

?16 .

  〈ⅰ〉当 AB2 ? AC 2 ? BC 2 时,∠ACB=90°.

 

 由 AB2 ? AC 2 ? BC 2 ,

  



16 9a2

?

8 a

?9

?

25

?

(

16 9a2

?16) .

   解得  a ? ? 1 . 4

   ∴ 当 a ? ? 1 时,点 B 的坐标为( 16 ,0), AB2 ? 625 , AC 2 ? 25 ,

4

3

9

BC 2 ? 400 . 9

   于是 AB2 ? AC 2 ? BC 2 .

   ∴ 当 a ? ? 1 时,△ABC 为直角三角形. 4

  〈ⅱ〉当 AC 2 ? AB2 ? BC 2 时,∠ABC=90°.

  由 AC 2 ? AB2 ? BC 2 ,得 25 ? ( 16 ? 8 ? 9) ? ( 16 ? 16) .

9a2 a

9a 2

  解得  a ? 4 . 9

  当 a ? 4 时, ? 4 ? 4 ? ?3 ,点 B(-3,0)与点 A 重合,不合题意.

9

3a 3? 4

9

  〈ⅲ〉当 BC 2 ? AC 2 ? AB2 时,∠BAC=90°.

  由 BC 2 ? AC 2 ? AB2 ,得 16 ? 16 ? 25 ? ( 16 ? 8 ? 9) .

9a 2

9a2 a

  解得  a ? 4 .不合题意. 9

  综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉,当 a ? ? 1 时,△ABC 为直角三角形. 4

11.已知抛物线 y=-x2+mx-m+2.

(1)若抛物线与 x 轴的两个交点 A、B 分别在原点的两侧,并且 AB= 5 ,试求 m 的值;
(2)设 C 为抛物线与 y 轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点 M、N,并且 △ MNC 的面积等于 27,试求 m 的值. 解: (1)A(x1,0),B(x2,0) . 则 x1 ,x2 是方程 x2-mx+m-2=0 的两根.
∵x1 + x2 =m , x1·x2 =m-2 <0 即 m<2 ;
-7-

又 AB=∣x1 — x2∣= (x+1 )x2 2 ? 4x1x2 ? 5 ,

∴m2-4m+3=0 .

解得:m=1 或 m=3(舍去) , ∴m 的值为 1 .

(2)M(a,b),则 N(-a,-b) .

∵M、N 是抛物线上的两点,



???a2

? ???a

2

? ?

ma ma

? ?

m m

? ?

2 2

? ?

b,L ① ?b.L ②

①+②得:-2a2-2m+4=0 . ∴a2=-m+2 .

∴当 m<2 时,才存在满足条件中的两点 M、N.

∴a ?? 2?m .

y C
M x
O N

这时 M、N 到 y 轴的距离均为 2 ? m ,

又点 C 坐标为(0,2-m),而 S△M N C = 27 ,

1
∴2× ×(2-m)×

2 ? m =27

.

2

∴解得 m=-7 .

12.已知:抛物线 y=ax2+4ax+t 与 x 轴的一个交点为

A(-1,0).  (1)求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标;  (2)D 是抛物线与 y 轴的交点,C 是抛物线上的一点,且以 AB 为
一底的梯形 ABCD 的面积为 9,求此抛物线的解析式;  (3)E 是第二象限内到 x 轴、y 轴的距离的比为 5∶2 的点,如果
点 E 在(2)中的抛物线上,且它与点 A 在此抛物线对称轴的同侧,问:在抛物线的对 称轴上是否存在点 P,使△APE 的周长最小?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说 明理由. 解法一:   (1)依题意,抛物线的对称轴为 x=-2.    ∵ 抛物线与 x 轴的一个交点为 A(-1,0),    ∴ 由抛物线的对称性,可得抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为(-3,0).

(2)∵ 抛物线 y=ax2+4ax+t 与 x 轴的一个交点为 A(-1, 0),

   ∴ a(-1)2+4a(-1)+t=0 .∴ t=3a.∴ y=ax2+4ax+3a .
-8-

  ∴ D(0,3a).∴ 梯形 ABCD 中,AB∥CD,且点 C 在抛物线 y=ax2+4ax+3a 上,

  ∵ C(-4,3a).∴ AB=2,CD=4.

  ∵ 梯形 ABCD 的面积为 9,∴ 1 ( AB ? CD) ?OD=9 .∴ 1 (2+4) 3a=9 .

2

2

  ∴ a±1.

  ∴ 所求抛物线的解析式为 y=x2+4x+3 或 y= ? x2 ? 4ax ? 3 .

  (3)设点 E 坐标为( x0 , y0 ).依题意, x0<0 , y0<0 ,

且 y0 = 5 .∴ x0 2

5 y0=- 2 x0 .

  ①设点 E 在抛物线 y=x2+4x+3 上, 

∴ y0=x02+4x0+3 .

  解方程组

? ? ?

y0=-

5 2

x0

,

?? y0=x02+4x0+3



? ? ?

? xy00==1?5;6,????
??

x0?= ?

y

0?=

5 4

1, 2 .

  ∵ 点 E 与点 A 在对称轴 x=-2 的同侧,∴ 点 E 坐标为( ? 1 , 5 ). 24

  设在抛物线的对称轴 x=-2 上存在一点 P,使△APE 的周长最小.

  ∵ AE 长为定值,∴ 要使△APE 的周长最小,只须 PA+PE 最小.

  ∴ 点 A 关于对称轴 x=-2 的对称点是 B(-3,0),

  ∴ 由几何知识可知,P 是直线 BE 与对称轴 x=-2 的交点.

  设过点 E、B 的直线的解析式为 y=mx+n ,

??? 1 m+n= 5 ,

  ∴ ? 2

4

??-3m+n=0.

解得 ???????nm==2312.,

  ∴   ∴

直线 BE 的解析式为 y= 1 x+ 3 .∴ 22
1
点 P 坐标为(-2, ).
2

把 x=-2 代入上式,得 y= 1 . 2

  ②设点 E 在抛物线 y= ? x2 ? 4x ? 3 上,∴ y0= ? x02 ? 4x0 ? 3 .

-9-

  解方程组

? ? ?

y0=-

5 2

x0

,

?? y0= ? x02 ? 4x0 ? 3.

消去

y0

,得

x

2 0

?

3 2

x 0+3=0



  ∴ △<0 . ∴ 此方程无实数根.
1
  综上,在抛物线的对称轴上存在点 P(-2, ),使△APE 的周长最小.
2
解法二:

 (1)∵ 抛物线 y=ax2+4ax+t 与 x 轴的一个交点为 A(-1,0),

  ∴

a(-1)2+4a(-1)+t=0 .∴

t=3a.∴

y=ax2+4ax+3a .

  令 y=0,即 ax2+4ax+3a=0 .解得 x1=-1, x2=-3 .
  ∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为(-3,0).   
 (2)由 y=ax2+4ax+3a ,得 D(0,3a).
  ∵ 梯形 ABCD 中,AB∥CD,且点 C 在抛物线
y=ax2+4ax+3a 上,
  ∴ C(-4,3a).∴ AB=2,CD=4.
  ∵ 梯形 ABCD 的面积为 9,∴ 1 ( AB+CD) ?OD=9 .解得 OD=3.
2   ∴ 3a=3 .∴ a±1.

  ∴ 所求抛物线的解析式为 y=x2+4x+3 或 y=-x2-4x-3 .

  

 (3)同解法一得,P 是直线 BE 与对称轴 x=-2 的交点.

  ∴ 如图,过点 E 作 EQ⊥x 轴于点 Q.设对称轴与 x 轴的交

点为 F.
  由 PF∥EQ,可得 BF = PF .∴ BQ EQ
PF= 1 . 2 1
  ∴ 点 P 坐标为(-2, ).
2

1 = PF .∴ 55 24

- 10 -

  以下同解法一. 13.已知二次函数的图象如图所示.  (1)求二次函数的解析式及抛物线顶点 M 的坐标.  (2)若点 N 为线段 BM 上的一点,过点 N 作 x 轴的垂线,垂足为点 Q.当点 N 在线段 BM 上运动时(点 N 不与点 B,点 M 重合),设 NQ 的长为 l,四边形 NQAC 的面积为 S,求 S 与 t 之间的函数关系式及自变量 t 的取值范围;  (3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P,使△PAC 为直角三角形?若存在,求出所有 符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由;  (4)将△OAC 补成矩形,使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个 顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,试直接写出矩形的未知 的顶点坐标(不需要计算过程).
解:(1)设抛物线的解析式 y ? a(x ? 1)(x ? 2) ,

  ∴ ? 2 ? a ?1? (?2) .∴ a ? 1.∴ y ? x 2 ? x ? 2 .

  其顶点 M 的坐标是 ?? 1 ,? 9 ?? . ?2 4?

  (2)设线段 BM 所在的直线的解析式为 y ? kx ? b ,点 N 的坐标为 N(t,h),

  ∴

??0 ????

? 9 4

2k ? b, ? 1 k ? b.
2

.解得

k

?

3 2



b

?

?3



  ∴ 线段 BM 所在的直线的解析式为 y ? 3 x ? 3 . 2

  ∴

h ? 3 t ? 3 ,其中 1 ? t ? 2 .∴

2

2

s ? 1 ?1? 2 ? 1 (2 ? 2 t ? 3)t ? 3 t 2 ? 1 t ?1.

2

23

42

  ∴ s 与 t 间的函数关系式是 S ? 3 t 2 ? 1 t ?1,自变量 t 的取值范围是 1 ? t ? 2 .

42

2

 (3)存在符合条件的点

P,且坐标是

P1

?? ?

5 2

,7 4

?? ?



P2

?? ?

3 2

,?

5 4

?? ?



  设点 P 的坐标为 P (m,n) ,则 n ? m2 ? m ? 2 .

PA2 ? (m ?1)2 ? n2 , PC 2 ? m2 ? (n ? 2)2,AC 2 ? 5 .
  分以下几种情况讨论:

- 11 -

  i)若∠PAC=90°,则 PC 2 ? PA2 ? AC 2 .

??n ? m2 ? m ? 2,

  ∴

? ??m

2

?

(n

?

2) 2

?

(m

? 1)2

?

n2

?

5.

  解得: m1

?

5 2



m2

?

?1(舍去). ∴



P1???

5 2

,7 4

?? ?



  ii)若∠PCA=90°,则 PA2 ? PC 2 ? AC 2 .

??n ? m2 ? m ? 2,

  ∴

? ??(m

? 1) 2

?

n2

?

m2

?

(n

?

2)2

?

5.

  解得:

m3

?

3 2

,m4

?

0

(舍去).∴



P2

?? ?

3 2

,-

5 4

?? ?



  iii)由图象观察得,当点 P 在对称轴右侧时, PA ? AC ,所以边 AC 的对角∠APC 不

可能是直角.

 (4)以点 O,点 A(或点 O,点 C)为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这边

OA(或边 OC)的对边上,如图 a,此时未知顶点坐标是点 D(-1,-2),

   以点 A,点 C 为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边 AC 的对边上,如图

b,此时未知顶点坐标是 E ?? ? 1,2 ?? ,F ?? 4 ,? 8 ?? . ? 5 5? ?5 5?

图a

图b

14.已知二次函数 y=ax2-2 的图象经过点(1,-1).求这个二次函数的解析式,并判断

该函数图象与 x 轴的交点的个数. 解:根据题意,得 a-2=-1.  

∴ a=1. ∴ 这个二次函数解析式是 y=x2 ? 2 .

  因为这个二次函数图象的开口向上,顶点坐标是(0,-2),所以该函数图象与 x 轴有

两个交点.

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15.卢浦大桥拱形可以*似看作抛物线的一部分.在大桥截面 1∶11000 的比例图上,跨度 AB=5 cm,拱高 OC=0.9 cm,线段 DE 表示大桥拱内桥长,DE∥AB,如图(1).在比例 图上,以直线 AB 为 x 轴,抛物线的对称轴为 y 轴,以 1 cm 作为数轴的单位长度,建立 *面直角坐标系,如图(2).

 (1)求出图(2)上以这一部分抛物线为图象的函数解析式,写出函数定义域;

  (2)如果 DE 与 AB 的距离 OM=0.45

cm,求卢浦大桥拱内实际桥长(备用数据:

2 ? 1.4 ,计算结果精确到 1 米).

解:(1)由于顶点 C 在 y 轴上,所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为

   y=ax2+ 9 . 10

  因为点 A( ? 5 ,0)(或 B( 5 ,0))在抛物线上,

2

2

所以 0=a ?(? 5)2+ 9 ,得
2 10

a=- 18 . 125

  因此所求函数解析式为 y=- 18 x 2+ 9 (? 5 ? x ? 5) .

125 10 2

2

 (2)因为点 D、E 的纵坐标为 9 , 所以 9 ? - 18 x2+ 9 ,得 x=? 5 2 .

20

20 125 10

4

  所以点 D 的坐标为(- 5

2,

9

5
),点 E 的坐标为(

2 , 9 ).

4

20

4

20

  所以 DE= 5

2-(? 5

2 )= 5

2


4

4

2

  因此卢浦大桥拱内实际桥长为 5 2 ?11000? 0.01=275 2 ? 385 (米). 2
16.已知在*面直角坐标系内,O 为坐标原点,A、B 是 x 轴正半轴上的两点,点 A 在点 B 的
左侧,如图.二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)的图象经过点 A、B,与 y 轴相交于点

C.

(1)a、c 的符号之间有何关系? (2)如果线段 OC 的长度是线段 OA、OB 长度的比例中项,试证
a、c 互为倒数;
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(3)在(2)的条件下,如果 b=-4, AB=4 3 ,求 a、c 的值.

解: (1)a、c 同号. 或当 a>0 时,c>0;当 a<0 时,c<0.  

(2)证明:设点 A 的坐标为( x1 ,0),点 B 的坐标为( x2 ,0),则 0<x1<x2 .

  ∴ OA ? x1 , OB ? x2 , OC ? c .

  据题意, x1 、 x2 是方程 ax2+bx+c ? 0(a ? 0) 的两个根. ∴
  由题意,得 OA?OB=OC 2 ,即 c =c 2=c2 .
a

x1

? x2

?

c a



  所以当线段 OC 长是线段 OA、OB 长的比例中项时,a、c 互为倒数.

(3)当

b

?

?4

时,由(2)知,

x1+x2=-

b a



4 a

>0

,∴

a>0.

  解法一:AB=OB-OA= x2-x1= (x1+x2 )2 ? 4x1x2 ,

  ∴

AB ?

( 4 )2-4( c ) ?

16 ? 4ac ? 2

3


a

a

a2

a

  ∵ AB ? 4 3 , ∴ 2 3 =4 3 .得 a ? 1 .∴ c=2.

a

2

  解法二:由求根公式, x= 4 ?

16 ? 4ac = 4 ?

16 ? 4 = 2 ?

3


2a

2a

a

2? 3

2? 3

  ∴ x1= a , x2= a .

  ∴

AB=OB-OA=x2-x1=

2

? a

3 - 2- a

3=2

3


a

  ∵ AB=4 3 ,∴ 2 3 =4 3 ,得 a= 1 .∴ c=2.

a

2

17.如图,直线 y ? ? 3 x ? 3 分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B,⊙E 经过原点 O 及 A、B 两 3
点.

(1)C 是⊙E 上一点,连结 BC 交 OA 于点 D,若∠COD=∠CBO,求点 A、B、C 的坐标;

(2)求经过 O、C、A 三点的抛物线的解析式:

(3)若延长 BC 到 P,使 DP=2,连结 AP,试判断直线 PA 与⊙E 的位置关系,并说明理

由.

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解:(1)连结 EC 交 x 轴于点 N(如图).

∵ A、B 是直线 y ? ? 3 x ? 3 分别与 x 轴、y 轴的交点.∴ A(3,0),B (0, 3) . 3
又∠COD=∠CBO. ∴ ∠CBO=∠ABC.∴ C 是 的中点. ∴ EC⊥OA.

∴ ON ? 1 OA ? 3 , EN ? OB ? 3 .

22

22

连结 OE.∴ ( 3 ,? 3 ).
22

EC ? OE ? 3 . ∴

NC ? EC ? EN ? 3 .∴ 2

(2)设经过 O、C、A 三点的抛物线的解析式为 y ? ax?x ? 3?.

C 点的坐标为

∵ C( 3 ,? 3 ). ∴ ? 3 ? a ? 3 ( 3 ? 3) .∴ a ? 2 3 .

22

2

22

9

∴ y ? 2 3 x2 ? 2 3 x 为所求.

9

8

(3)∵ tan ?BAO ? 3 , ∴ ∠BAO=30°,∠ABO=50°. 3

由(1)知∠OBD=∠ABD.∴ ?OBD ? 1 ?ABO ? 1 ? 60? ? 30? .

2

2

∴ OD=OB·tan30°-1.∴ DA=2.

∵ ∠ADC=∠BDO=60°,PD=AD=2.

∴ △ADP 是等边三角形.∴ ∠DAP=60°.

∴ ∠BAP=∠BAO+∠DAP=30°+60°=90°.即 PA⊥AB.

即直线 PA 是⊙E 的切线.

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