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二项式知识点+十大问题+练*(含答案)(word文档物超所值)

发布时间:

1.二项式定理:
(a ? b)n ? Cn0an ? Cn1an?1b ?L ? Cnr an?rbr ?L ? Cnnbn (n ? N ? ) ,
2.基本概念:
①二项式展开式:右边的多项式叫做 (a ? b)n 的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数 Cnr (r ? 0,1, 2,???, n) . ③项数:共 (r ?1) 项,是关于 a 与 b 的齐次多项式

④通项:展开式中的第 r ?1 项 Cnr an?rbr 叫做二项式展开式的通项。用 Tr?1 ? Cnr an?rbr 表
示。 3.注意关键点:
①项数:展开式中总共有 (n ?1) 项。

②顺序:注意正确选择 a , b ,其顺序不能更改。 (a ? b)n 与 (b ? a)n 是不同的。
③指数: a 的指数从 n 逐项减到 0 ,是降幂排列。 b 的指数从 0 逐项减到 n ,是升幂排列。 各项的次数和等于 n .
④系数:注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是
Cn0 , Cn1, Cn2 ,???, Cnr ,???, Cnn. 项的系数是 a 与 b 的系数(包括二项式系数)。

4.常用的结论:

令 a ? 1,b ? x,

(1? x)n ? Cn0 ? Cn1 x ? Cn2 x2 ?L ? Cnr xr ?L ? Cnn xn (n ? N ? )

令 a ? 1, b ? ?x, (1? x)n ? Cn0 ? Cn1x ? Cn2 x2 ?L ? Cnr xr ?L ? (?1)n Cnn xn (n ? N ? )
5.性质:
①二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即 Cn0 ? Cnn ,

··· Cnk ? Cnk ?1 ②二项式系数和:令 a ? b ? 1 ,则二项式系数的和为
Cn0 ? Cn1 ? Cn2 ?L ? Cnr ?L ? Cnn ? 2n ,

变形式 Cn1 ? Cn2 ?L ? Cnr ?L ? Cnn ? 2n ?1 。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和:
在二项式定理中,令 a ? 1, b ? ?1 ,则 Cn0 ? Cn1 ? Cn2 ? Cn3 ?L ? (?1)n Cnn ? (1?1)n ? 0 ,

从而得到: Cn0 ? Cn2 ? Cn4 ??? ?Cn2r ? ??? ? Cn1 ? Cn3 ?L

? Cn2r?1

????

?

1 ? 2n 2

?

2n?1

④奇数项的系数和与偶数项的系数和:

(a ? x)n ? Cn0an x0 ? Cn1an?1x ? Cn2an?2 x2 ?L ? Cnna0 xn ? a0 ? a1x1 ? a2 x2 ?L ? an xn

(x ? a)n ? Cn0a0 xn ? Cn1axn?1 ? Cn2a2 xn?2 ?L ? Cnnan x0 ? an xn ?L ? a2 x2 ? a1x1 ? a0

令x则?①1, a0 ? a1 ? a2 ? a3 L ? an ? (a ?1)n ? ? ? ? ? ? ? ? ?

令x则? ?1, a0 ? a1 ? a2 ? a3 ?L ? an ? (a ?1)n ? ? ? ? ? ? ? ?②

①②? 得奇,数a0项? 的 a2 系? a数4 L和?

an

?

(a

? 1)n

? 2

(a

? 1) n

(

)

①②? 得偶,数a1项? a的3 ?系a数5 L和?

an

?

(a

? 1)n

? 2

(a

? 1) n

(

)

⑤二项式系数的最大项:如果二项式的幂指数 n 是偶数时,则中间一项的二项式系数
n
Cn2 取得最大值。
n?1
如果二项式的幂指数 n 是奇数时,则中间两项的二项式系数 Cn 2 ,
n?1
Cn 2 同时取得最大值。

⑥系数的最大项:求 (a ? bx)n 展开式中最大的项,一般采用待定系数法。设展开式中各项

系数分别



A1,

A2 ,???,

An?1

,设第 r

?1 项系数最大,应有

? ?

Ar

?1

? Ar?1

? ?

Ar Ar ?2

,从而解出 r

来。

专题一

题型一:二项式定理的逆用;

例: Cn1 ? Cn2 ? 6 ? Cn3 ? 62 ?L ? Cnn ? 6n?1 ?

.

解: (1? 6)n ? Cn0 ? Cn1 ? 6 ? Cn2 ? 62 ? Cn3 ? 63 ?L ? Cnn ? 6n 与已知的有一些差距,

?Cn1 ? Cn2 ? 6 ? Cn3 ? 62 ?L

?

Cnn

? 6n?1

?

1 6

(Cn1

?6

?

Cn2

? 62

?L

? Cnn ? 6n )

?

1 6

(Cn0

?

Cn1

?6

?

Cn2

? 62

?L

?

Cnn

?

6n

?1)

?

1 6

[(1 ?

6)n

?1]

?

1 6

(7n

?1)

练: Cn1 ? 3Cn2 ? 9Cn3 ?L ? 3n?1Cnn ?

.

解:设 Sn ? Cn1 ? 3Cn2 ? 9Cn3 ?L ? 3n?1Cnn ,则

3Sn ? Cn1 3 ? Cn2 32 ? Cn333 ?L ? Cnn 3n ? Cn0 ? Cn1 3 ? Cn2 32 ? Cn333 ?L ? Cnn 3n ?1 ? (1? 3)n ?1

? Sn

?

(1? 3)n 3

?1

?

4n ?1 3

题型二:利用通项公式求 xn 的系数;

例:在二项式 ( 4 1 ? 3 x2 )n 的展开式中倒数第 3 项的系数为 45 ,求含有 x3 的项的系数? x

解:由条件知

C n?2 n

?

45 ,即 Cn2

?

45 ,?n2

?

n

? 90

?

0 ,解得 n

?

?9(舍去)或

n

? 10





Tr ?1

?

C1r0

(

x

?

1 4

)10?r

(

x

2 3

)

r

? C x r

?10?r ? 2 r 43

10

,由题意 ? 10 ? r 4

?

2r 3

? 3,解得r

?

6,

则含有 x3 的项是第 7 项 T6?1 ? C160 x3 ? 210x3 ,系数为 210 。

练:求 (x2 ? 1 )9 展开式中 x9 的系数? 2x

解: Tr?1

?

C9r

(

x2

)9?r

(?

1 2x

)r

?

C9r

x18?2r

(?

1 2

)r

x?r

?

C9r

(?

1 2

)

r

x18?3r

,令

18

?

3r

? 9 ,则

r ?3



x9

的系数为 C93 (?

1 )3 2

?

?

21 2



题型三:利用通项公式求常数项;

例:求二项式 (x2 ? 1 )10 的展开式中的常数项? 2x

解: Tr?1

? C1r0 (x2 )10?r ( 2 1 x )r

?

C1r0

(

1 2

)r

x

20?

5 2

r

,令 20 ?

5r 2

?

0 ,得 r

? 8 ,所以

T9

?

C180

(

1 2

)8

?

45 256

练:求二项式 (2x ? 1 )6 的展开式中的常数项? 2x

解: Tr?1

?

C6r

(2

x)6?r

(?1)r

(

1 2x

)

r

?

(?1)r

C6r

26?r

(

1 2

)r

x

6?

2r

,令

6

?

2r

?

0 ,得 r

? 3 ,所

以 T4 ? (?1)3C63 ? ?20

练:若 (x2 ? 1 )n 的二项展开式中第 5 项为常数项,则 n ? ____ . x

解: T5

?

Cn4

(

x

2

)

n?4

(

1 x

)4

?

Cn4 x2n?12 ,令 2n ?12

?

0 ,得 n

?

6

.

题型四:利用通项公式,再讨论而确定有理数项;

例:求二项式 ( x ? 3 x )9 展开式中的有理项?

解: Tr?1

1

1

? C9r (x 2 )9?r (? x3 )r

?

27?r
(?1)r C9r x 6

,令

27 ? r 6

?Z

,( 0 ?

r

?

9 )得

r ? 3或r ? 9 ,

所以当 r

?

3 时,

27 ? r 6

?

4 , T4

?

(?1)3 C93 x 4

?

?84 x 4



当r

?

9

时,

27 ? r 6

?

3 , T10

?

(?1)3C99 x3

?

?x3 。

题型五:奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和;

例:若 ( x2 ? 1 )n 展开式中偶数项系数和为 ?256 ,求 n . 3 x2

解:设 (

x2

?

3

1 x2

)n

展开式中各项系数依次设为 a0 , a1,???an ,

令x ? ?1 ,则有 a0 ? a1 ? ???an ? 0, ①, 令x ? 1 ,则有 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? (?1)n an ? 2n , ② 将①-②得: 2(a1 ? a3 ? a5 ? ???) ? ?2n , ? a1 ? a3 ? a5 ? ??? ? ?2n?1, 有题意得, ?2n?1 ? ?256 ? ?28 ,? n ? 9 。

练:若 ( 3

1 x

?5

1 x2

)n

的展开式中,所有的奇数项的系数和为1024

,求它的中间项。

解:Q Cn0 ? Cn2 ? Cn4 ??? ?Cn2r ? ??? ? Cn1 ? Cn3 ?L

?

C 2r ?1 n

?

???

?

2n?1

,? 2n?1

? 1024

,解

得 n ? 11

所以中间两个项分别为 n ? 6, n ? 7 , T5?1

? Cn5 ( 3

1 )6 (5 x

1 x2

)5

? 462 ? x?4 ,

? 61
T6?1 ? 462 ? x 15
题型六:最大系数,最大项;
例:已知 ( 1 ? 2x)n ,若展开式中第 5 项,第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展 2
开式中二项式系数最大项的系数是多少?

解:Q Cn4 ? Cn6 ? 2Cn5 ,? n2 ? 21n ? 98 ? 0, 解出 n ? 7或n ? 14 ,当 n ? 7 时,展开式中二

项式系数最大的项是 T4和T5

?T4的系数

?

C73

(

1 2

)

4

23

?

35 2

,



T5的系数

?

C74

(

1 2

)3

24

?

70,

当n

? 14

时,展开式中二项式系数最大的项是 T8 ,

?T8的系数

?

C174

(

1 2

)7

27

?

3432



练:在 (a ? b)2n 的展开式中,二项式系数最大的项是多少?

解:二项式的幂指数是偶数 2n ,则中间一项的二项式系数最大,即 T2n?1 ? Tn?1 ,也就是 2 第 n ?1项。

练:在 ( x ? 1 )n 的展开式中,只有第 5 项的二项式最大,则展开式中的常数项是多少? 2 3x

解:只有第 5 项的二项式最大,则 n ?1 ? 5 ,即 n ? 8 ,所以展开式中常数项为第七项等于 2

C86

(

1 2

)

2

?

7

例:写出在 (a ? b)7 的展开式中,系数最大的项?系数最小的项?

解:因为二项式的幂指数 7 是奇数,所以中间两项( 第4项, 5 )的二项式系数相等,且同时

取得最大值,从而有 T4 ? ?C73a4b3 的系数最小, T5 ? C74a3b4 系数最大。 例:若展开式前三项的二项式系数和等于 79 ,求 ( 1 ? 2x)n 的展开式中系数最大的项?
2

解:由 Cn0

? Cn1

? Cn2

?

79, 解出 n

? 12

,假设 Tr?1 项最大,Q

(1 2

?

2 x)12

?

(1 )12 (1? 2

4 x)12

?

? ?

Ar

?1

? Ar?1

? ?

Ar Ar ?2

?

?????CC11rr22

4r 4r

? ?

C 4 r ?1 r ?1 12
C 4 r ?1 r ?1 12

,化简得到 9.4 ?

r

? 10.4 ,又Q 0 ?

r

? 12 ,

?r

? 10 ,展开式中系数最大的项为 T11 ,有 T11

?

(

1 2

)12

C10 12

410

x10

? 16896x10

练:在 (1? 2x)10 的展开式中系数最大的项是多少?

解:假设 Tr?1 项最大,Q Tr?1 ? C1r0 ? 2r xr

?

? ?

Ar

?1

? Ar?1

? ?

Ar Ar ?2

?

?????CC11rr00

2r 2r

? ?

C r ?1 10
C r ?1 10

2r 2r

?1 ?1

,

解得

?2(11 ??r ?1

? ?

r) ? r 2(10 ?

r

)

,化简得到

6.3 ? k ? 7.3 ,又Q 0 ? r ? 10 ,?r ? 7 ,展开式中系数最大的项为

T8 ? C170 27 x7 ? 15360x7.

题型七:含有三项变两项;

例:求当 (x2 ? 3x ? 2)5 的展开式中 x 的一次项的系数?

解法①: (x2 ? 3x ? 2)5 ? [(x2 ? 2) ? 3x]5 , Tr?1 ? C5r (x2 ? 2)5?r (3x)r ,当且仅当 r ? 1 时, Tr?1 的展开式中才有 x 的一次项,此时 Tr?1 ? T2 ? C51(x2 ? 2)4 3x ,所以 x 得一 次项为 C51C44 243x 它的系数为 C51C44 243 ? 240 。
解法②:
(x2 ? 3x ? 2)5 ? (x ?1)5 (x ? 2)5 ? (C50 x5 ? C51x4 ? ??? ? C55 )(C50 x5 ? C51x4 2 ? ??? ? C55 25 ) 故展开式中含 x 的项为 C54 xC55 25 ? C54 x24 ? 240x ,故展开式中 x 的系数为 240.
练:求式子 ( x ? 1 ? 2)3 的常数项? x

解: ( x ? 1 ? 2)3 ? ( x ? 1 )6 ,设第 r ?1 项为常数项,则

x

x

Tr?1 ? C6r (?1)r

x 6?r ( 1 )r x

? (?1)6 C6r

x 6?2r ,得 6 ? 2r ? 0 , r ? 3 ,

?T3?1 ? (?1)3C63 ? ?20 .

题型八:两个二项式相乘;

例: 求(展1?开2式x)3中(1的? x系)4数.

x2

解:Q (1? 2x)3的展开式的通项是C3m ? (2x)m ? C3m ? 2m ? xm , (1? x)4的展开式的通项是C其4n中? (?x)n ? C4n ? ?1n ? xn , m ? 0,1, 2,3, n ? 0,1, 2,3, 4,

令m则?且n且?且2, 因m此? 0 n ? 2, m ? 1 n ? 1, m ? 2 n ? 0, (1? 2x)3(1? x)4

的展开式中x的2 系数等于 C30 ? 20 ? C42 ? (?1)2 ? C31 ? 21 ? C41 ? (?1)1 ? C32 ? 22 ? C40 ? (?1)0 ? ?6 .

练: 求(展1?开3式x )中6 (1的?常1数)1项0 . 4x

解: (1?

3

x )6 (1?

1 4x

)10

展开式的通项为C6m

x

m 3

?

C1n0

?
x

n 4

? C6m

4m?3n
? C1n0 ? x 12

其中m当?且0仅,1,当2,即???,或6,或n ? 0,1, 2,???,10,

4m ? 3n,

?m ? 0, ??n ? 0,

?m ? 3, ??n ? 4,

?m ? 6, ??n ? 8,

时得展开式中的常数项为C60 ? C100 ? C63 ? C140 ? C66 ? C180 ? 4246 .

练:

已知(的1?展x开? x式2 )中(x没? 有1 常)n 数项且则 x3

, n ? N * 2 ? n ? 8,

解:

(x

?

1 x3

)n 展开式的通项为C通rn项? x分n?r别? x与?3r前?面Crn的? x三n?4项r ,相乘可得

n ? ______ .

Crn ? xn?4r , Crn ? xn?4r?1, Crn ? xn?4r?2 ,Q 展开式中不含常数项, 2 ? n ? 8

?n ? 4r且n且?,4即r ?且1 且n ? 4r ? 2 n ? 4,8 n ? 3, 7 n ? 2, 6,?n ? 5.

题型九:奇数项的系数和与偶数项的系数和; 例:

在(的x 二? 项2)展200开6 式中含的奇次幂, 的x项之和为当时

S, x ? 2 , S ? _____ .

解: 设(=x ? 2)2006 a0 ? a1x1 ? a2 x2 ? a3x3 ?L -?- -a-20-06-x-2①006 (?x ? 2)2006 =a0 ? a1x1 ? a2 x2 ? a3x3 ?L ? a2006 x2006 - - - - - - - ②

①②? 得 2(a1x ? a3x3 ? a5 x5 ?L ? a2005 x2005 ) ? (x ? 2)2006 ? (x ? 2)2006

?(x ? 2)2006 展开式的奇次幂项之和为S (x) ? 1 [(x ? 2)2006 ? (x ? 2)2006 ] 2

3?2006

当x时? 2 , S ( 2) ? 1 [( 2 ? 2)2006 ? ( 2 ? 2)2006 ] ? ? 2 2 ? ?23008

2

2

题型十:赋值法;

例:设二项式 (33 x ? 1 )n 的展开式的各项系数的和为 p ,所有二项式系数的和为 s ,若 x

p ? s ? 272 ,则 n 等于多少?

解:若 (33

x

?

1 )n x

?

a0

?

a1x

?

a2 x2

?????

an xn

,有

P

?

a0

?

a1

?????

an



S ? Cn0 ? ?? ?Cnn ? 2n ,

令 x ? 1 得 P ? 4n ,又 p ? s ? 272 ,即 4n ? 2n ? 272 ? (2n ?17)(2n ?16) ? 0 解得

2n ? 16或舍2n 去? ?17( ) ,?n ? 4 .

练:若 ????3

x?

1 x

???? n

的展开式中各项系数之和为

64

,则展开式的常数项为多少?

解:令 x ? 1 ,则 ????3

x?

1 x

???? n

的展开式中各项系数之和为

2n

?

64

,所以

n

?

6

,则展

开式的常数项为 C63 (3

x)3 ? (?

1 )3 ? ?540 . x

例:
若(则1?的2值x)2为009 ? a0 ? a1x1 ? a2 x2 ? a3x3 ?L ? a2009 x2009 (x ? R),

a1 ? a2 ? ??? ? a2009

2 22

22009

解: 令x可?得1 , 2

a0

?

a1 2

?

a2 22

?????

a2009 22009

? 0,? a1 2

?

a2 22

?????

a2009 22009

? ?a0

在令x可?得0因而a0 ? 1,

a1 ? a2 ? ??? ? a2009 ? ?1.

2 22

22009

练: 若(则x ? 2)5 ? a5 x5 ? a4 x4 ? a3x3 ? a2 x2 ? a1x1 ? a0 , a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ____ .

解: 令x得?令0得a0 ? ?32, x ? 1 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ?1,

? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 31.
题型十一:整除性;

例:证明: 32n?2 ? 8n ? 9(n ? N * ) 能被 64 整除

证: 32n?2 ? 8n ? 9 ? 9n?1 ? 8n ? 9 ? (8 ?1)n?1 ? 8n ? 9

?

C0 n?1

8n

?1

?

Cn1?18n

?

????

C n?1 n?1

82

?

Cn n?1

81

?

C n?1 n?1

?

8n

?

9

?

C0 n?1

8n

?1

?

Cn1?18n

?

???

?

Cnn??1182

?

8(n

? 1)

?1? 8n

?

9

? Cn0?18n?1 ? Cn1?18n ? ? ? ? ? Cnn??1182

由于各项均能被 64 整除?32n?2 ? 8n ? 9(n ? N *)能被6整4除

1、(x-1)11 展开式中 x 的偶次项系数之和是

1、设 f(x)=(x-1)11,

f (1) ? f (?1)
偶次项系数之和是

?

(?2)11 / 2

?

?1024

2

2、 C0n ? 3C1n ? 32 C2n ? L ? 3n Cnn ?

2、4n

3、 (3 5 ? 1 )20 的展开式中的有理项是展开式的第

项 奎奎 奎奎奎

奎奎

5

3、3,9,15,21

4、(2x-1)5 展开式中各项系数绝对值之和是

4、(2x-1)5 展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5 展开式系数之和,故令 x=1,则
所求和为 35 奎奎 奎奎奎 奎奎

5、求(1+x+x2)(1-x)10 展开式中 x4 的系数 奎奎 奎奎奎 奎奎

5、 (1 ? x ? x2 )(1 ? x)10 ? (1 ? x3)(1 ? x)9 ,要得到含 x4 的项,必须第一个因式中的 1 与

(1-x)9 展开式中的项 C94 (?x)4 作积,第一个因式中的-x3 与(1-x)9 展开式中的项

C19 (?x) 作积,故 x4 的系数是 C19

? C94

? 135

奎奎 奎奎奎
奎奎

6、求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10 展开式中 x3 的系数 奎奎 奎奎奎 奎奎

6、 (1 ?

x)

?

(1 ?

x)2

? L(1 ?

x)10

?

(1 ?

x)[1 ? (1 ?

x)10 ]
=

(x

? 1)11

?

(x

? 1)

,原式中

x3

1 ? (1 ? x)

x

C 实为这分子中的 x4,则所求系数为

7

11

奎奎 奎奎奎
奎奎

7、若 f (x) ? (1 ? x)m ? (1 ? x)n (m ? n ? N) 展开式中,x 的系数为 21,问 m、n 为何值时,

x2 的系数最小?

7、由条件得

m+n=21,x2

的项为

C

2 m

x

2

?

C

2 n

x

2

,则

C

2 m

?

C

2 n

?

(n

?

21 )

2

2

? 399 . 因 4

n∈N,故当 n=10 或 11 时上式有最小值,也就是 m=11 和 n=10,或 m=10 和 n=11 时,x2 的

系数最小 奎奎 奎奎奎 奎奎

8、自然数 n 为偶数时,求证:

1 ? 2C1n ? C2n ? 2C3n ? C4n ? L ? 2Cnn?1 ? Cnn ? 3 ? 2n?1

8、原式=

(C

0 n

?

C1n

?

C

2 n

?L

?

C n?1 n

?

C

n n

)

?

(C1n

?

C

3 n

?

C

5 n

?L

?

C

n n

?1

)

?

2n

?

2 n ?1

?

3.2 n ?1

80 9、求 11 被 9 除的余数 奎奎 奎奎奎 奎奎

9、

8011 ? (81 ? 1)11 ? C1018111 ? C1118110 ? L

?

C 10 11

81

?

1

?

81k

?

1(k

?

Z

)

,

∵k∈Z,∴9k-1∈Z,∴

8111



9

除余

8

奎奎 奎奎奎

奎奎

10、在(x2+3x+2)5 的展开式中,求 x 的系数 奎奎 奎奎奎 奎奎

10、 (x 2 ? 3x ? 2)5 ? (x ? 1)5 (x ? 2)5

在(x+1)5 展开式中,常数项为 1,含 x 的项为 C15 ? 5x ,在(2+x)5 展开式中,常数项为

25=32,含 x 的项为 C15 24 x ? 80x

∴展开式中含 x 的项为

1?

(80x)

?

5x(32)

?

240x

,此展开式中

x

的系数为

240

奎奎 奎奎奎

奎奎

11、求(2x+1)12 展开式中系数最大的项 奎奎 奎奎奎 奎奎
11、设 Tr+1 的系数最大,则 Tr+1 的系数不小于 Tr 与 Tr+2 的系数,即有

?? ?

C1r2 C1r2

212?r 212?r

?

C r?1 12

213?r

? C1r2?11211?r

?

???C2C1r21r2??2CC11rr22??11

? 3 1 ? r ? 4 1 ,? r ? 4

3

3

∴展开式中系数最大项为第 5 项,T5=16C142 x 4 ? 7920x 4




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